Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) \(AB = 14,AC = 23,\widehat A = {125^o}.\)
b) \(BC = 22,4;\widehat B = {64^o};\widehat C = {38^o}.\)
c) \(AC = 22,\widehat B = {120^o},\widehat C = {28^o}.\)
d) \(AB = 23,AC = 32,BC = 44\)
Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) \(a = 17,4;\widehat B = {44^o}30'\widehat C = {64^o}.\)
b) \(a = 10;b = 6;c = 8.\)
a) Ta cần tính góc \(\widehat A\) và hai cạnh \(b,c.\)
Ta có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {44^o}30' - {64^o} = {71^o}30'.\)
Áp dụng định lí sin, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} = \frac{b}{{\sin {{44}^o}30'}} = \frac{c}{{\sin {{64}^o}}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \sin {44^o}30'.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} \approx 12,86\\c = \sin {64^o}.\frac{{17,4}}{{\sin {{71}^o}30'}} \approx 16,5\end{array} \right.\end{array}\)
b) Ta cần tính số đo ba góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)
Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \cos A = \frac{{{6^2} + {8^2} - {{10}^2}}}{{2.6.8}} = 0;\cos B = \frac{{{{10}^2} + {8^2} - {6^2}}}{{2.10.8}} = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow \widehat A = {90^o},\widehat B = {36^o}52'11,63''\\ \Rightarrow \widehat C = {53^o}7'48,37''\end{array}\)
Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=180^o-3\times\widehat{C}\); \(\widehat{B}=70^o\)
Vẽ tia phân giác \(\widehat{B}\) cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song BC cắt AB tại D.CMR: ED là tia phân giác của \(\widehat{AED}\)
Ta có \(\widehat{A}+\widehat{ABC}+\widehat{C}=180^0\Rightarrow180^0-3\widehat{C}+\widehat{C}=180^0-70^0=110^0\)
\(\Rightarrow2\widehat{C}=70^0\Rightarrow\widehat{C}=35^0\Rightarrow\widehat{A}=180^0-3\cdot35^0=75^0\)
Ta có BE là p/g nên \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\dfrac{1}{2}\widehat{ABC}=35^0\)
Mà \(ED//BC\) nên \(\widehat{B_2}=\widehat{E_2}=35^0\left(so.le.trong\right)\left(1\right)\)
Ta có \(ED//BC\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{C}=35^0\left(đồng.vị\right)\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{E_1}=\widehat{E_2}\left(=35^0\right)\)
Vậy ...
5. Cho tam giác ABC; 2 đường phân giác AD, BE; với D ϵ BC, E ϵ AC. CMR:
a) \(\widehat{ADC}=\widehat{BEC}\) thì \(\widehat{A}=\widehat{B}\).
b) \(\widehat{ADB}=\widehat{BEC}\) thì \(\widehat{A}+\widehat{B}=120^o\).
a) Để chứng minh a) ta cần chứng minh rằng góc ADC bằng góc BEC.
Vì AD là đường phân giác của góc BAC, nên ta có:
∠DAB = ∠DAC (1)
Tương tự, vì BE là đường phân giác của góc ABC, nên ta có:
∠CBA = ∠CBE (2)
Từ (1) và (2), ta có:
∠DAB + ∠CBA = ∠DAC + ∠CBE
∠DAB + ∠CBA = ∠BAC + ∠ABC
∠DAB + ∠CBA = ∠ABC + ∠BAC
Do đó, góc ADC bằng góc BEC.
Tiếp theo, để chứng minh rằng góc A bằng góc B, ta sử dụng định lý phụ của đường phân giác:
∠DAB = ∠DAC
∠EBA = ∠EBC
Vì ∠ADC = ∠BEC (đã chứng minh ở trên), nên ta có:
∠DAC + ∠ADC = ∠DAB + ∠ABC
∠DAB + ∠ABC = ∠DAC + ∠ADC
Từ đây, suy ra ∠A = ∠B.
Vậy, điều phải chứng minh a) đã được chứng minh.
b) Để chứng minh b), ta cần chứng minh rằng góc ADB bằng góc BEC.
Từ ∠ADB = ∠BEC (đã chứng minh ở a)), ta có:
∠ADB + ∠BEC = ∠BEC + ∠BEC
∠ADB + ∠BEC = 2∠BEC
∠ADB = ∠BEC
Do đó, góc ADB bằng góc BEC.
Tiếp theo, ta có:
∠A + ∠B + ∠C = 180° (định lý tổng các góc trong tam giác)
∠ADB + ∠B + ∠BEC = 180°
∠BEC + ∠B + ∠BEC = 180° (vì ∠ADB = ∠BEC)
2∠BEC + ∠B = 180°
2∠BEC = 180° - ∠B
∠BEC = (180° - ∠B) / 2
∠BEC = 90° - ∠B/2
∠BEC = 90° - ∠A/2 (vì ∠A = ∠B)
∠A/2 + ∠B/2 + ∠C = 90°
∠A/2 + ∠B/2 + ∠C = 90° - ∠A/2
∠A/2 + ∠A/2 + ∠C = 90° - ∠A/2
∠A + ∠C = 90° - ∠A/2
∠A + ∠C + ∠A/2 = 90°
2∠A + ∠C = 180°
∠A + ∠C = 180° - ∠A
∠A + ∠C = ∠B
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + ∠B + ∠C = 120° + 60°
∠A + ∠B + ∠C = 180°
Do đó, ∠A + ∠B = 120°.
Vậy, điều phải chứng minh b) đã được chứng minh.
Cho tam giác ABC có \(AB = 100,\widehat B = {100^o},\widehat C = {45^o}.\) Tính:
a) Độ dài các cạnh AC, BC
b) Diện tích tam giác ABC.
a)
Ta có: \(\widehat A = {180^o} - (\widehat B + \widehat C)\) \( \Rightarrow \widehat A = {180^o} - ({100^o} + {45^o}) = {35^o}\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có:
\(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = \frac{{BC}}{{\sin A}}\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin B.\frac{{AB}}{{\sin C}}\\BC = \sin A.\frac{{AB}}{{\sin C}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}AC = \sin {100^o}.\frac{{100}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 139,3\\BC = \sin {35^o}.\frac{{100}}{{\sin {{45}^o}}} \approx 81,1\end{array} \right.\)
b)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}.BC.AC.\sin C = \frac{1}{2}.81,1.139,3.\sin {45^o} \approx 3994,2.\)
Cho tam giác ABC có BC = 4cm, \(\widehat{B}=70^o\), \(\widehat{C}=45^o\). Tính độ dài AC và diện tích tam giác ABC?
Kẻ đường cao AH ứng với BC, đặt \(CH=x\Rightarrow BH=4-x\)
Trong tam giác vuông ABH
\(tanB=\dfrac{AH}{BH}\Rightarrow AH=BH.tanB=\left(4-x\right).tan70^0\)
Trong tam giác vuông ACH:
\(tanC=\dfrac{AH}{CH}\Rightarrow AH=CH.tanC=x.tan45^0=x\)
\(\Rightarrow\left(4-x\right)tan70^0=x\)
\(\Leftrightarrow\left(1+tan70^0\right)x=4.tan70^0\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4tan70^0}{1+tan70^0}\approx2,2\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow CH=AH=2,2\left(cm\right)\)
\(AC=\sqrt{CH^2+AH^2}=AH\sqrt{2}\approx3,1\left(cm\right)\)
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}.2,2.4=4,4\left(cm^2\right)\)
Tính số đo góc A của tam giác ABC biết \(\widehat{A}-\widehat{B}=22^o;\widehat{B}-\widehat{C}=22^o\)
Xét tam giác ABC có:góc A+góc B+góc C=180 độ(tổng 3 góc trong tam giác)
\(\Rightarrow\)góc A+góc B=180 độ-góc C
\(\Rightarrow\)góc B+góc C=180 độ-góc A
Mà góc A-góc B=22 độ
\(\Rightarrow\)góc A=\(\frac{\text{180 độ-góc C+22 độ}}{2}\)
\(\Rightarrow\)góc B=\(\frac{\text{180 độ-góc C+22 độ}}{2}-22độ\left(1\right)\)
Mà góc B-góc C=22 độ
\(\Rightarrow\)góc B=\(\frac{\text{180 độ-góc A+22 độ}}{2}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)\(\frac{\text{180 độ-góc C+22 độ}}{2}-22độ=\frac{\text{180 độ-góc A+22 độ}}{2}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{\text{180 độ-góc C+22 độ-44độ}}{2}=\frac{\text{180 độ-góc A+22 độ}}{2}\)
\(\Rightarrow\)góc C-22 độ=góc A+22 độ
\(\Rightarrow\)góc A=góc C+44 độ
\(\Rightarrow\)góc B=góc C+22 độ
Xét tam giác ABC có:góc A+góc B+góc C=180 độ(tổng 3 góc trong tam giác)
Hay góc C+44 độ+góc C+22 độ+góc C=180 độ
3.góc C+66 độ=180 độ
góc C=\(\frac{180độ-66độ}{3}\)
góc C=38 độ
\(\Rightarrow\)góc A=38 độ +44 độ
góc A=82 độ
Tính diện tích tam giác ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) Các cạnh \(b = 14,c = 35\) và \(\widehat A = {60^o}\)
b) Các cạnh \(a = 4,b = 5,c = 3\)
a) Áp dụng công thức: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\), ta có:
\(S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2\)
Áp dụng đl cosin, ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {a^2} = {14^2} + {35^2} - 2.14.35.\cos {60^o} = 931\\
\Rightarrow a \approx 30,5
\end{array}\)
\( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{30,5}}{{2\sin {{60}^o}}} \approx 17,6\)
b) Ta có: \(p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6\)
Áp dụng công thức Heron, ta có:
\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)} = 6.\)
Lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{4.5.3}}{{4.6}} = 2,5.\)
a) So sánh các góc của tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 7 cm, AC = 6 cm.
b) So sánh các cạnh của tam giác ABC có \(\widehat A\)\( = {50^o}\),\(\widehat C\)\( = {50^o}\)
a) Theo đề bài ta có AB = 4cm, BC = 7cm, AC = 6cm
Có góc đối diện với cạnh AB là góc C, góc A đối diện với cạnh BC, góc B đối diện với cạnh AC
Theo định lí về góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn ta có :
\( \Rightarrow \widehat A > \widehat B > \widehat C\)
b)
Vì \(\widehat{A}=\widehat{C}\) nên tam giác ABC cân tại B
\( \Rightarrow BA = BC\)
Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ABC, có:
\( \Rightarrow \widehat B = {180^o} - {100^0} = {80^o}\)
\( \Rightarrow \widehat B > \widehat A=\widehat C\)
\( \Rightarrow AC\) là cạnh lớn nhất tam giác ABC (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác)
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có \(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\). Gọi OH, OI, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến BC, AC, AB. So sánh các độ dài OH, OI, OK ?
Ta có \(\widehat{A}>\widehat{B}>\widehat{C}\) nên \(BC>AC>AB\)
Do đó \(OH< OI< OK\)